Olivier Rodot retrace l’histoire de l’analyse mathématique

Le dernier ouvrage d’Olivier Rodot, responsable du département mathématiques des classes préparatoires de l’EPITA, s’intitule "Analyse Mathématique, une approche historique" (éditions de boeck). Un livre novateur à destination des étudiants en classes préparatoires scientifiques.

3ouvrage.jpgQuelle est l’originalité de votre ouvrage par rapport aux manuels déjà existants ?

Tout d’abord, j’ai souhaité qu’il soit agréable à feuilleter, car les mathématiques, à première vue, revêtent un caractère assez austère. L’ouvrage est imprimé en quadrichromie, alors que tous les livres de mathématiques du supérieur sont en noir et blanc ou en bichromie. J’ai en outre introduit une approche historique : tous les théorèmes sont datés et leur source précisée. Des notices biographiques et des anecdotes historiques jalonnent l’ouvrage et permettent de rendre les théorèmes plus attrayants. D’autre part, j’ai rédigé des introductions à chaque chapitre qui permettent de préciser leur intérêt concret. J’ai enfin inséré de nombreuses figures qui permettent d’éclairer certaines démonstrations ou certains exercices.

Pourquoi avoir choisi une approche historique ?

2cauchy.jpgJe cite Michel Serres dans l’avant-propos : « un savoir sans origine est un savoir sans fin ». On comprend mieux une théorie lorsque l’on en étudie l’évolution historique, les maladresses, voire les erreurs des mathématiciens dues au langage mathématique de l’époque non encore parfaitement abouti. Je pense en particulier à l’importance de la convergence uniforme que Cauchy, dans son magnifique ouvrage de 1821, n’avait pas encore perçue. Je dis souvent à mes étudiants : « Vous trouvez ce théorème difficile ? Eh bien vous avez raison, il est effectivement difficile : les mathématiciens ont mis des siècles à le formaliser. » Il est passionnant d’étudier la genèse d’un concept, d’un théorème pour en goûter toute la saveur et toutes les subtilités. C’est la même chose qu’en musique ou en littérature : les autographes permettent souvent d’éclairer un paragraphe, une mesure de partition, et d’approcher d’un peu plus près le mystère de la création. C’est une chose qui me fascine. Je pense en particulier au film de Clouzot, Le mystère Picasso, dans lequel le maître peint sous nos yeux en direct. L’ouvrage prétend cibler un public large.

Comment avez-vous fait pour le rendre intéressant pour des spécialistes aussi bien que pour des néophytes ?

2Achilletortue.jpgAvant de devenir spécialiste, il faut d’abord avoir été néophyte. Pour que les néophytes deviennent progressivement spécialistes, il faut déjà qu’ils trouvent le sujet d’étude attrayant. C’est pourquoi j’ai souhaité qu’en feuilletant le livre, on découvre immédiatement d’autres choses que les mathématiques : des photos, des biographies, des introductions concrètes etc. Par exemple on peut trouver l’un des paradoxes de Zénon, ou encore la vibration d’une corde de guitare expliquée en termes simples. Du point de vue purement didactique, l’ouvrage est écrit dans un style très détaillé, sans économie de mots, avec systématiquement un exemple après chaque proposition et théorème. Ainsi l’élève d’un niveau modeste trouvera l’ouvrage très accessible, d’autant plus que j’ai inséré à la fin de chaque chapitre des questions de cours qui permettent à l’étudiant de vérifier l’assimilation des notions-clés du chapitre. Mais le livre s’adresse également aux étudiants de niveau très élevé, par exemple ceux préparant les grands concours comme Polytechnique, ou bien l’agrégation, puisque j’ai introduit progressivement dans chaque chapitre des théorèmes beaucoup plus compliqués, certains très difficiles et certains aussi totalement inconnus, dont les démonstrations ont été rédigées avec le même soin du détail. Ces étudiants peuvent ainsi considérer ces théorèmes comme des exercices et tenter de les démontrer.

Comment votre expérience de professeur en classes préparatoires intégrées vous a-t-elle servi dans la rédaction de cet ouvrage ?

2PhotoRodot.jpgComme je l’ai précisé, l’important au démarrage d’un cours est de captiver les étudiants. Une fois captivés, c’est gagné. Le sujet les intéressera, et donc ils étudieront avec joie, presque sans efforts. Mon expérience d’enseignant m’a permis de mesurer combien il est important d’adapter son cours au public. Il ne s’agit pas pour le professeur de réciter son cours, mais de transmettre un savoir en s’assurant que l’étudiant comprenne et assimile les points-clés de chaque chapitre. C’est pourquoi je n’ai jamais cherché à exposer la démonstration la plus courte, certes très élégante pour les initiés, mais totalement hermétique pour les néophytes. Bien au contraire, j’ai rédigé dans un style aéré, très détaillé, pour que l’étudiant d’un niveau modeste, désireux d’apprendre, avide de progresser, puisse suivre sans difficulté chaque étape. C’est aussi pourquoi j’ai systématiquement inséré un exemple après chaque proposition ou théorème. D’autre part, j’ai aussi remarqué que l’étudiant est plus attiré par l’étude d’un chapitre si l’on présente en amont son intérêt concret, d’où ces introductions dans ce livre. Enfin j’ai pu tester combien les étudiants sont friands d’anecdotes historiques. L’évocation des faits marquants de la vie des mathématiciens est un moment toujours privilégié et même parfois très émouvant. Je me souviens d’un jour où j’avais évoqué avec émotion la vie d’Abel, mort si jeune sans que l’on ait reconnu son talent : en effet il ne reçoit sa lettre de nomination au poste de professeur de l’Université de Berlin qu’au lendemain de sa mort. Il y avait dans la salle un silence d’une profondeur inouïe. Les étudiants étaient à coup sûr eux-mêmes touchés par la triste destinée de ce pauvre Abel. Cela me rappelle d’ailleurs ce que disait un compositeur que j’aime beaucoup, Carl Philipp Emanuel Bach, l’un des fils de Bach : « Un musicien ne peut émouvoir les autres que s’il est lui-même ému. ». Je me suis ainsi rendu compte, lorsque l’on rédige un ouvrage de mathématiques, sujet a priori austère, de l’importance d’essayer d’ « humaniser » quelque peu cette science : je distribue chaque année des articles d’époque, écrits par des mathématiciens tels que Cauchy, Bertrand ou encore Duhamel, auxquels les étudiants sont de plus en plus sensibles. Les élèves trouvent cette démarche attrayante. Cela m’a incité à développer cet aspect historique dans mon livre.

Quelles difficultés avez-vous rencontrées ? Comment les avez-vous surmontées ?

Déterminer les dates et les sources précises des théorèmes m’a donné beaucoup de fil à retordre. C’est une vraie enquête policière. Certains théorèmes sont en effet attribués par erreur à tel ou tel mathématicien, alors qu’en réalité, un autre l’a démontré auparavant. Je pense par exemple à l’un des théorèmes d’Euler, qui est souvent attribué à Lejeune-Dirichlet. C’est d’autant plus délicat que certains mathématiciens n’hésitent pas à s’attribuer dans leurs articles la paternité d’un théorème, alors qu’un autre l’a prouvé auparavant. Il m’a donc fallu passer de très longues heures à lire des articles, non seulement en français, mais aussi en allemand. Il se trouve que j’ai appris l’allemand en première langue. Mais là où j’ai eu le plus de mal, c’est en russe. J’ai la chance d’avoir un voisin qui m’a traduit certains articles. J’ai donc pu bénéficier de ses traductions pour pouvoir lire ces articles. Le travail a été facilité par le projet de numérisation entamé depuis plusieurs années, par la BNF notamment, avec le site Gallica. Si j’avais écrit le livre il y a dix ans, il m’aurait fallu me transformer en rat de bibliothèque ! Autre difficulté rencontrée : certaines démonstrations délicates. Je pense à la généralisation complète des séries de Bertrand, exposée ici pour la première fois. Je fais d’ailleurs l’historique des démonstrations des généralisations des séries de Bertrand dans l’ouvrage. Certains ont essayé de les généraliser, mais pas de façon complète. Je propose ici une généralisation complète. Au niveau technique, j’ai surtout rencontré des problèmes de mise en page. Effectivement, lorsque l’on publie un livre, il y a deux solutions : soit on fournit le manuscrit à l’éditeur, qui se charge de tout, y compris de la mise en page ; soit c’est à l’auteur de tout faire, de le taper, et de s’occuper de la mise en page, jusqu’aux traits de coupe (les hirondelles) pour l’imprimeur. Là aussi j’ai rencontré beaucoup de problèmes, parce qu’au départ, je n’ai pas estimé convenablement tous les problèmes techniques induits par le langage LATEX. En effet, ce langage est très adapté à l’écriture d’articles ou de livres, mais à condition de ne pas inclure de choses un peu exotiques. Or le source de l’ouvrage regorge de macro-instructions complexes. Les notices biographiques par exemple sont des blocs insécables générant des blancs tout autour. J’ai dû résoudre ces problèmes par des macro-instructions sous forme de flottants qui m’ont causé beaucoup de soucis. J’ai dû être épaulé pour le cyrillique par un ancien étudiant de l’EPITA, Alexandre Abraham, qui a trouvé in extremis une solution pour inclure cet alphabet dans le source. Certaines figures ont été également délicates à réaliser, car toujours codées en LATEX.

Que vous a apporté la rédaction de cet ouvrage ?

Au final, je dirais qu’il m’a apporté beaucoup de joie, même si j’ai connu beaucoup de moments de doute et de détresse. Comme je le dis souvent à mes étudiants, un effort intellectuel ou physique intense procure de la joie, et cette joie est proportionnelle à l’intensité de l’effort fourni. Il est vrai que cet ouvrage m’a permis d’affermir la connaissance de certains concepts du point de vue historique, il m’a apporté plus de recul sur cet aspect. J’ai appris également beaucoup du point de vue technique sur la mise en page. Au moment de l’écriture, on ne pense pas à la joie, on a plutôt des moments de doute. Mais lorsque l’éditeur m’a remis l’ouvrage, fin août, c’était une joie assez profonde !

Quelles ont été les étapes de la genèse du livre ?

En 2005, j’ai commencé à rédiger un chapitre, mais je n’étais pas du tout sûr d’aboutir à la publication d’un livre. J’ai tenté déjà de peaufiner un seul chapitre, à voir ce que je pouvais en faire : au niveau du contenu, des théorèmes, des propositions, des définitions, des remarques, mais aussi du point de vue historique, puis j’ai complété par des figures pour voir ce que cela pourrait donner. Après j’ai progressivement rédigé d’autres chapitres. Et nous sommes à présent début 2009. Je suis allé voir un éditeur. J’ai choisi directement de boeck, parce que j’ai toujours été très impressionné par cet éditeur, au départ plutôt spécialisé en médecine et biologie, et qui publie toujours des ouvrages de grande qualité, tout au moins au niveau de la qualité calligraphique, toujours en couleurs. Une fois que la décision est prise, que l’éditeur me donne son feu vert, une date est fixée : juillet 2010. J’avais l’impression de disposer de beaucoup de temps, mais en réalité, je ne me doutais pas des problèmes techniques que j’allai rencontrer. Toutes les vacances et week-end de l’année scolaire 2009/2010 furent consacrés à l’écriture du livre !

Que souhaitez-vous que le livre devienne ?

J’espère qu’il sera bien accueilli aussi bien de la part des étudiants que des enseignants. Idéalement, je me réjouirais également que mon ouvrage devienne une référence du point de vue de l’approche historique et didactique. A moyen terme, il devrait s’insérer dans une collection de quatre livres, deux de première année, et deux de deuxième année. Je serai vraiment satisfait lorsque d’autres auteurs bien sûr participeront à l’aventure, mais avec la même approche de façon à obtenir une cohérence de rédaction. En effet, beaucoup d’ouvrages de prépa sont très bien lorsque l’on connaît déjà les mathématiques. La plupart des auteurs recherchent l’élégance, mais cela n’est pas toujours évident à comprendre.

Avez-vous d’autres projets ?

Idéalement, j’aimerais bien écrire le deuxième tome de deuxième année, mais, faute de temps, l’entreprise paraît bien délicate. Vu le temps que le premier tome m’a pris, et vu les sacrifices que cela m’a demandés, je ne sais pas si je pourrai entreprendre cette aventure. Le deuxième tome devrait s’intituler algèbre linéaire et bilinéaire. Ma décision n’est pas encore prise. Il est possible que je prenne la direction de l’édition, afin que l’esprit soit conservé. Par ailleurs, je retravaille en ce moment assidûment l’orgue, notamment le répertoire baroque (Clérambault, Du Mage, de Grigny…) et me passionne toujours autant, via les Archives Départementales, pour l’histoire du petit village bressan d’où mes ancêtres sont originaires. Ces deux autres passions aboutiront peut-être un jour à la rédaction d’un nouveau livre ou à des concerts dans ma commune.

Si vous souhaitez contacter Olivier Rodot, écrivez lui à l’adresse suivante : olivier.rodot@epita.fr.